Die Lagrange-Punkte L4 und L5 …

Die Lagrange-Punkte L4 und L5 …

Die Lagrange-Punkte L4 und L5 ...

    Hinweis. Diese Berechnung wird für die Nutzer fließend in Algebra bestimmt und ziemlich vertraut mit Trigonometrie. Es ist länger, langwieriger und ein bisschen komplizierter als andere Berechnungen in Stargazers. Wenn Sie planen, es zu studieren, kann eine gute Idee sein, es zu kopieren und sie auf Papier überprüfen, wie Sie gehen zusammen.
    Eine andere Ableitung — kürzere, elegant, mehr allgemein, sondern Vektoren und arbeiten in einem rotierenden Referenzrahmen verwendet — zu finden in Abschnitt (34c) .

Wie bereits erwähnt, zwei Punkte gibt es auf der Sonne-Erde-Linie, die Lagrange-Punkte L1 und L2, wo (wenn nur die Schwerkraft dieser beiden Organe betrachtet wird) ein Raumschiff wird seine Position in Bezug auf die Sonne und der Erde halten. Es stellt sich heraus, dass drei zusätzlich Stationsaufrechterhaltung Punkte dieser Art gibt es auch. Einer von ihnen, L3, ist auf der Erde-Sonne Linie aber eine der anderen Seite der Sonne, bei etwa der gleichen Entfernung wie die Erde. Es hat keinen praktischen Nutzen, da an dieser Stelle eine Berechnung Beteiligung nur die Erde und die Sonne eine sehr schlechte Näherung ist. Die Anziehungskraft der anderen Planeten kann das der Erde nicht überschreiten und nicht ignoriert werden kann.

Die beiden anderen Lagrangepunkten, L4 und L5, sind auf der Erdumlaufbahn, wobei die Linien sie an der Sonne machen 60 verbindet Winkel mit der Erde-Sonne Linie. An den Stellen, die Zwei-Körper-Berechnung basierend auf der Erde und der Sonne sagt auch Stationsaufrechterhaltung (das heißt, das Gleichgewicht in einem Bezugssystem mit der Erde drehen). Auch hier sind jedoch, L4 und L5 so entfernt, dass für eine realistische Berechnung der Bewegung eines Raumfahrzeugs in der Nähe von ihnen muss die Anziehungskraft der anderen Planeten aufgenommen werden.

Jedoch die Erde-Mond System hat auch seine L4 und L5 Punkte, und diese haben einige Aufmerksamkeit als mögliche Standorte für Beobachtungsstellen und für die Selbst erhalten enthalten Raumkolonien.

Sie haben eine wichtige Eigenschaft (was zu beweisen nicht), dass sie sind stabil. Im Gegensatz dazu ist das Gleichgewicht an den L1 und L2 Punkte instabil ist, wie die eines Marmor auf einer Bowlingkugel thront.

Wenn positioniert genau auf der Oberseite wird der Marmor an Ort und Stelle bleiben, aber der geringste Stoß wird es weiter und weiter aus dem Gleichgewicht zu machen bewegen, bis es abfällt. Im Gegensatz dazu sind das Gleichgewicht bei L4 oder L5 wie die eines Marmor am Boden einer Kugelschale: ein leichter Stoß gegeben, es rollt wieder zurück. So wird die Raumsonde bei L4 oder L5 neigen nicht weg zu wandern, im Gegensatz zu denen bei L1 und L2, die ihnen kleine Bordraketen benötigen von Zeit zu Zeit wieder an ihren Platz zu schubsen.

Hier werden wir, dass L4 zeigen und L5 des Erde-Mond-System sind die Positionen des Gleichgewichts in einem Referenzrahmen mit dem Mond rotierenden. unter der Annahme, dass die Umlaufbahn des Mondes ist kreisförmig. Nicht kreisförmigen Umlaufbahnen und die Frage der Stabilität sind über den Umfang dieser Diskussion.

Die Werkzeuge der Berechnung

  1. Wir werden Newtons Gravitationsgesetz brauchen, und die Tatsache, dass das Zentrum der Umlaufbahn des Mondes ist nur ca das Zentrum der Erde. Das eigentliche Zentrum der Umlaufbahn ist die Massezentrum (oder Schwerpunkt) des Erde-Mond-System (siehe Ende von Abschnitt 11).

Wie in Abschnitt 25 gezeigt, wenn m ist die Masse des Mondes und M das der Erde, ist das Zentrum der Masse der Punkt, der die Erde-Mond-Linie durch ein Verhältnis teilt m: M. Say A der Mittelpunkt der Erde ist, B die des Mondes, und c ist der Abstand zwischen den beiden (Zeichnung). Dann, wenn D ist der Massenmittelpunkt,

und es ist leicht zu überprüfen, dass die Summe dieser Abstände ist c und ihr Verhältnis m / M. Eine alternative Form der DB (die nützlich sein wird) wird berechnet, indem Zähler und Nenner, erhalten durch M :

  • Von Trigonometrie müssen wir die Gesetz von Sines. Angenommen, wir ein Dreieck ABC beliebiger Größe gegeben sind und die Form (Zeichnung). Die Winkel an den drei Ecken werden A, B und C als auch benannt werden, während die Längen der Seiten davon gegenüber bezeichnet sind ein. b und c. Dann wird das Gesetz von Sines sagt

    eine Linie, die senkrecht zu der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks lassen Sie uns es für den Winkel A und B nachweisen, indem sie von der dritten Ecke C Zeichnung. Lassen h kann die Länge der Zeile. Dann

    sinA = h/ b b sin A = h
    SINB = h/ a a SINB = h

    Davon
    b sinA = a SINB

    und Dividieren beider Seiten mit ab gibt das gewünschte Ergebnis. Um zu beweisen, dass der Winkel C auch die Bedingung erfüllt, wiederholen wir die Berechnung mit einer senkrechten Linie von A gezogen oder aus B.

  • Wir müssen auch eine trigonometrische Identität für den Sinus der Summe der beiden Winkel. Wenn diese Winkel werden von den griechischen Buchstaben bezeichnet und

    Sünde( + ) = sin cos + cos Sünde

  • Schließlich werden wir die Auflösung von Vektoren (siehe s. 14) benötigen. Nehmen wir an, eine Kraft F wirkt auf ein Objekt an einem gewissen Punkt C, die einen Winkel mit der Richtung einer bestimmten Linie, markiert hier mit R (Zeichnung). Nehmen wir an, dass wir noch auflösen müssen F in Komponenten parallel und senkrecht zu R. Im Dreieck CPQ stellt, wenn CP die Kraft F. dann CQ und QP repräsentieren seine parallelen und senkrechten Komponenten. Dann seit

    Sünde = QC/ CP cos = QP/ CP wir parallel Kraft = CQ = F sin perpen. Kraft = QP = F cos

    Gleichgewichtsbedingungen

    Zum gezogen Diagramm früher das Zentrum der Masse des Erde-Mond-System zu veranschaulichen, haben wir ein Raumschiff an einem gewissen Punkt C hinzufügen, mit Entfernungen b von der Erde, ein vom Mond und R vom Zentrum der Masse D. Wie bei der Ableitung des Gesetzes von Sines, nennen wir (A, B, C), die Winkel an den Eckpunkten mit jenen Buchstaben gekennzeichnet, und (ABC ) Werden die Längen der Seiten sein, die Ecken (A, B, C) gegenüber.

    Wir bezeichnen ferner als (&# 945 ;, ) Die beiden Teile, in die R der Winkel teilt C. Überprüfen Sie diese alle aus, bevor Sie fortfahren.

    Die Frage zu beantworten ist: Unter welchen Bedingungen wird der Satellit in C eine feste Position relativ zur Erde und Mond halten?

    Die Berechnung erfolgt am besten behandelt in dem Rahmen mit dem Mond rotierenden. In diesem Rahmen, wenn ein Satellit am Punkt C ist Gleichgewicht. es wird immer den gleichen Abstand vom Mond halten und von der Erde. Der Drehpunkt ist der Punkt, D — auch die Erde dreht sich um sie — und wenn das Raumschiff bei C im Gleichgewicht ist, sind alle drei Stellen haben einen gleichen Umlaufperiode T. Wenn C regungslos in dem Drehrahmen ist, gibt es keine Corioliskraft (es nur auf Objekte wirkt in diesem Rahmen bewegen), aber das Raumschiff wird ein Gefühl Zentrifugalkraft. wie der Mond und die Erde.

    Lassen Sie uns sammeln Gleichungen

    —diejenigen, die die Abstände und Winkel zu gehorchen.

    (1) Zu beachten, dass die erste Drehradius R des Satelliten wird
    in der Regel unterscheiden sich von der des Mondes, das ist c / (1 + m / M)

    Bezeichnet man die Drehgeschwindigkeit des Mondes durch V und die von dem Raumschiff durch v. schon seit Entfernung = Geschwindigkeit x Zeit

    2 R = VT2 c/ (1 + m/ M) = VT Daraus

    Die beiden Ausdrücke gleich 2/ T muß auch damit zueinander gleich

    Dies drückt nur die bekannte Beobachtung, dass, wenn zwei Objekte eine Drehung teilen, die eine weiter entfernt von der Achse dreht schneller und ihre Geschwindigkeiten sind proportional zu ihren Abständen von der Achse.

    (2) Der Zentrifugalkraft, die auf dem Mond ist

    und es wird durch den Zug der Erde ausgeglichen

    woher G Newton ist die Gravitationskonstante, gemessen zuerst von Henry Cavendish. In einer kreisförmigen Umlaufbahn. die beiden müssen gleich sein, einander Ausgleich (wie bei der Berechnung in Abschnitt 20):

    Dividieren beider Seiten mit (m/ c ) Gibt unsere zweite Gleichung:

    (3) Es sei m sein, die Masse des Satelliten. Die Zentrifugalkraft, die auf es ist

    und das muss durch die Anziehungskräfte ausgeglichen werden Fe der Erde und Fm des Mondes. Jedoch nur die Komponenten dieser Kräfte entlang die Linie R wirksam sind, um die Zentrifugalkraft in entgegenwirkt. Daher

    Jetzt durch Newtons Gravitationstheorie Fm = G m m/ a 2

    Setzt man diese in der oberen Gleichung und beide Seiten Dividieren durch m gibt die dritte Gleichung:

    (3) v 2 / R = (Gm/ a 2) cos + (GM/ b 2) cos

    (4) Schließlich sind die Kräfte, die die Raumsonde in Richtungen ziehen aufrecht nach R muss gelöscht werden. Andernfalls würde die Sonde durch die stärkere der beiden gezogen werden und würden bei C nicht bleiben, das heißt, würde nicht mehr im Gleichgewicht. Das benötigt

    Substituieren und Dividieren beider Seiten mit Gm Blätter

    (4) (m/ a 2) sin = (M/ b 2) sin

    Sammeln Sie alle Gleichungen einmal mehr:

    Die Mengen sind hier von drei Arten erscheinen.

    • —Einige sind bekannt KonstantenG. m und M. Sie haben Werte gegeben und wir erwarten nicht, sie zu ändern.
    • —Einige sind Entfernungenr. ein. b und c —mit den Positionen der Erde, Mond und Raumschiff im Raum zu tun. Die Winkel (&# 945 ;, ) Hängen von diesen zu Entfernungen, aber wir werden die genauen Beziehungen für diese nicht benötigen.
    • —Und einige sind Geschwindigkeiten. nämlich v und V .

    Lassen Sie uns die Geschwindigkeiten beseitigen. so dass die Bedingungen, mit denen wir links sind rein geometrisch, nur Abstände und Winkel beteiligt sind.

    Wir führten bereits aus ein Beseitigung vorhin. Wir hatten zwei Gleichungen, die die Umlaufzeit beteiligt T. jedes wurde verwendet, um auszudrücken 2 / T. und indem diese zwei Ausdrücke gleich zueinander einstellen, erhalten wir einen einzigen Ausdruck, der nicht enthalten T (Wir immer geben eine Gleichung in einer Eliminationsprozess — beginnen mit zwei, am Ende mit einem).

    Der Plan dann ist wie folgt. Wir beseitigen V zwischen (1) und (2), so dass eine Gleichung nur Einbeziehung v. Dann werden wir beseitigen v zwischen ihm und (3), Abwicklung mit einer Gleichung nicht Geschwindigkeiten beteiligt — plus (4), die auch enthält weder v noch V.

    Aus (1), quadriert beide Seiten

    Multiplizieren Sie beide Seiten durch c 2 und teilen sie durch (1 + m/ M)

    Aber durch (2)
    GM/ c = V 2 (1 + m/ M) Gleichsetzung:

    und V eliminiert gerade. Nun, beide Seiten multiplizieren (1 + m / M). teilen sie durch c 2 und multiplizieren Sie sie mit R

    v 2 / R = (GM/ c 3) R (1 + m/ M), aber von (3)

    v 2 / R = (Gm/ a 2) cos + (GM/ b 2) cos

    Daher (Bewegen eines Faktor 1 / c nach R )

    Die Aufteilung alles durch GM gibt eine der Gleichungen mit wir links, während das andere (4) ist:

    Lassen Sie uns auf die letzte Zeichnung zurück, reproduziert hier wieder für die Bequemlichkeit. Wir bezeichnen mit (A, B, C) nicht nur die Ecken des Dreiecks, sondern auch die dort gebildeten Winkel. offensichtlich
    C = +

    Sei R1 = BD sein, den Abstand vom Mond zum Schwerpunkt (oder Schwerpunkt) Punkt D, die in der Erde-Mond-System in Ruhe bleibt (Abschnitt # 25 zu sehen); es ist nur ein wenig kleiner als die Erde-Mond-Entfernung c AB =. Wie in der Zeichnung angemerkt
    R1 = C [M / (M + m)] = c / [1 + (m / M)] (7)
    So (6) wird
    (1 / c 2) (R / R1 ) = (1 / a 2) (m / M) cos + (1 / b 2) cos (8)
    Durch Einsetzen von (4)
    (M / M) = (a 2 sin / B 2 sin)
    und bricht ein Faktor 2 auf dem Weg

    (1 / c 2) (R / R1 ) = (1 / b 2) [(sin cos / sin) + cos]
    = (1 / b 2 sin) [sin cos + cos Sünde]
    = (1 / b 2 sin) sin ( + ) = (1 / b 2 sin) sin C (9)
    Durch das Gesetz von Sines im Dreieck BCD
    Sünde / R1 = Sin B / R sin (R / R1 ) = Sin B Deshalb
    sin B / c 2 = SINC / b 2 sin B / sin C = c 2 / b 2
    Aber aus dem Gesetz von Sines im Dreieck ABC
    sin B / sin C = b / c Daher b 3 = c 3 b = c
    Eine wichtige Tatsache dieser Berechnung ist, dass weder m noch M im Endergebnis erscheinen. Wir können daher revidieren unsere Notation. Herstellung von M die Masse des Mondes und m die Masse der Erde. (Der Punkt D im Diagramm verschoben werden würde, aber es ist ungenau wie auch immer, tatsächlich unter der Erdoberfläche befindet). In der überarbeiteten Regelung, b steht für die Abstand vom Mond auf dem Raumschiff. ursprünglich vorgesehenen "ein".

    Die Berechnung zeigt nun, dass das Raumschiff-Moon Abstand ebenfalls entspricht dem Abstand Erde-Mond c. Daraus folgt, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist.

      (Dank einer Französisch Nachricht von Penn Gwenn mit einer einfacheren Version der Gleichungen aus (7) auf, und Dr. Guy Batteur für ihn mir in Verbindung steht — DPS)

    Wie bereits erwähnt, weil L4 und L5 stabilen Gleichgewichtspunkte sind, haben sie für die Gebiete von großem sich geschlossene vorgeschlagen Raumkolonien&# 34 ;, eine Idee entwickelt und von dem verstorbenen Gerald O’Neill befürwortet. Im Jahr 1978 schrieb Bill Higgins und Barry Gehm auch für Möchtegern-Kolonisten Das L5-Lied in Höhe von Haus auf der Strecke. Hier ist sein Anfang:

    Startseite auf Lagrange

      Oh gib mir einen Ort
      Wo die gravitons konzentrieren
      Wenn das Dreikörperproblem ist gelöst
      Wo die Mikrowellen spielen
      Unten bei 3 Grad K
      Und die Kälte-Virus nicht entwickelt

    CHOR:
    Nach Hause, zu Hause auf Lagrange
    Wo der Weltraummüll sammelt immer.

    Zu Ihrer Information, die Dreikörperproblem ist die Lösung der Bewegung von drei Stellen, die unter ihrer gegenseitigen Anziehung. Es ist berühmt für viele Jahre zunichte gemacht Astronomen haben, und der König von Schweden bot sogar einen Preis zu wer auch immer es gelöst: der Preis von der Französisch Mathematiker Henri Poincare in Anspruch genommen wurde, der im allgemeinen bewiesen, dass es unlöslich war -, dass keine explizite Formel bestand, dass die Bewegung für die unbestimmte Zukunft vorhergesagt. In der heutigen Terminologie würde man sagen, dass die allgemeine Drei-Körper-Bewegung chaotische Eigenschaften hat. Auch die allgemeine beschränkt Dreikörperproblem wo einer der Körper ist sehr klein — z. Erde, Mond und Raumschiff — ist unlöslich, obwohl spezifische Lösungen existieren, wie die, in denen die Sonde an einem der Lagrange-Punkten positioniert ist.

    Explo:

    Über Raumkolonien an Lagrangepunkten:

    • Gerald K. O’Neill, Die Kolonialisierung des Weltraums &# 34 ;, Physics Today September 1974 p. 32.
  • Gerard K. O’Neill, The High Frontier. William Morrow und Co. NY, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.
  • Über die L4 und L5 Punkte und etwa gesperrt Asteroiden in der Umgebung von L4 und L5 des Sun-Jupiter-System: Wenn Trojaner und Griechen Collide von I. Vorobyov, Quant . September-Oktober 1999, S.. 16-19. Dieser Artikel enthält einen alternativen Beweis des Gleichgewichts der Bewegung bei L4 und L5, allgemeinere (keine Begrenzung auf die Massen), aber einen rotierenden Referenzrahmen und zweidimensionale Vektoren. Die Berechnung kann im Abschnitt (34-c) dieser Website zu finden.

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